เศษส่วนทางเรขาคณิต

แม้ว่าจะไม่ใช่จนกระทั่งปี 1975 ที่ Mandelbrot ได้พัฒนาแนวคิดเกี่ยวกับเศษส่วน แต่นักคณิตศาสตร์ก็สะดุดกับเศษส่วนโดยไม่รู้ตัวในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 Helge von Koch นักคณิตศาสตร์ชาวสวีเดนได้พัฒนาเส้นโค้งที่มีคุณสมบัติโดดเด่นสำหรับแคลคูลัสและต่อมาได้รับการยอมรับว่าเป็นเศษส่วน หากคุณขยายส่วนใดๆ ของเส้นโค้ง ก็จะดูเหมือนส่วนที่ใหญ่กว่าที่มีส่วนโค้งนั้นทุกประการนอกจากนี้ บ่อยครั้งที่ดูเหมือนจะเป็นกรณีของแฟร็กทัล เส้นโค้งของ Koch นั้นดูดึงดูดสายตา ในลักษณะที่ทำให้นึกถึงวัตถุจากธรรมชาติ เมื่อนำเส้นโค้ง Koch สามส่วนมารวมกันเป็นวงกลม ลวดลายจะดูเหมือนเกล็ดหิมะมาก

Mandelbrot ค้นพบเศษส่วนในปี 1961 

เมื่อเขากำลังศึกษาความผันผวนในตลาดฝ้าย เขาสังเกตเห็นความสม่ำเสมอที่น่าประหลาดใจ: พล็อตของการเปลี่ยนแปลงราคาที่ดูเหมือนสุ่มในช่วงหนึ่งเดือนดูเหมือนกับพล็อตของการเปลี่ยนแปลงในช่วงทศวรรษ

ในไม่ช้า เขาก็เห็นรูปแบบดังกล่าวในหลาย ๆ สถานการณ์ที่ดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกัน กราฟของการขึ้นและลงของแม่น้ำไนล์ในหนึ่งสัปดาห์คล้ายกับกราฟในหนึ่งศตวรรษ การกระแทกและการทรุดตัวของชายฝั่งอังกฤษคล้ายกับขอบที่ไม่สม่ำเสมอของเวิ้งอ่าวเดียว เขาขนานนามวัตถุด้วยรูปแบบของความคล้ายคลึงกันในมาตราส่วนต่างๆ กันนี้ว่า “แฟร็กทัล” จากคำภาษาละตินที่แปลว่า “หัก” หรือ “ผิดปกติ”

หลายปีต่อมา การผสมผสานระหว่างความงามทางสายตาและความแม่นยำทางเรขาคณิตของแฟร็กทัลจำนวนมากดึงดูดเทย์เลอร์ ผู้ซึ่งขาดระหว่างฟิสิกส์และศิลปะมานาน ควบคู่ไปกับอาชีพด้านฟิสิกส์ เขาได้สร้างงานศิลปะแนวนามธรรม กระทั่งทิ้งฟิสิกส์ไปช่วงหนึ่งเพื่อศึกษาการวาดภาพที่ Manchester School of Art ในอังกฤษ

ในช่วงเวลานั้น Taylor ได้ศึกษาภาพวาดของ Pollock การไหลของสีที่วุ่นวายดูห่างไกลจากความแม่นยำที่เป็นระเบียบของเส้นโค้งของ Koch แต่เมื่อใดก็ตามที่ Taylor มองที่ส่วนเล็กๆ ของภาพวาด Pollock มันก็ดูคล้ายกับโครงสร้างโดยรวมของทั้งหมด

ภาพวาดไม่ได้แสดงความคล้ายคลึงกันที่สมบูรณ์แบบของแฟร็กทัล

ทางเรขาคณิตอย่างเส้นโค้ง Koch แต่วัตถุธรรมชาติไม่เคยทำเช่นนั้น ธรรมชาติมีแนวโน้มที่จะด้นสด นำเสนอรูปแบบต่างๆ ในหัวข้อ มากกว่ารูปแบบซ้ำๆ เทือกเขาไม่ได้มีรูปร่างเหมือนกันเป๊ะๆ เหมือนหินผาบนภูเขาลูกเดียว แต่ทั้งสองมีลักษณะคล้ายคลึงกัน เทย์เลอร์เห็นความคล้ายคลึงกันในภาพเขียนของพอลลอค

เทย์เลอร์คิดว่าการสังเกตอาจช่วยอธิบายคุณสมบัติเฉพาะได้ “ภาพวาดของพอลลอคมักถูกอธิบายว่าดูเหมือน ‘ธรรมชาติ’ และ ‘ธรรมชาติ’” เทย์เลอร์กล่าว “ตัวพอลลอคเองบอกว่า ‘ความกังวลของฉันอยู่ที่จังหวะของธรรมชาติ’ และ ‘ฉันคือธรรมชาติ’” ลักษณะเศษส่วนในภาพวาดของพอลลอคที่สร้างคุณภาพที่เป็นธรรมชาตินั้นหรือไม่?

เทย์เลอร์ทำตามแนวคิดของเขาโดยการคำนวณสถิติที่เรียกว่า “มิติเศษส่วน” ซึ่งนักคณิตศาสตร์ได้พัฒนาขึ้นเพื่อทำความเข้าใจคุณสมบัติแปลกๆ ของเศษส่วน เส้นธรรมดาที่ไม่มีความกว้างมีหนึ่งมิติ และระนาบแบนมีสองมิติ แต่เส้นโค้ง Koch ทำให้งง เนื่องจากมันถูกสร้างขึ้นจากเส้นสาย มันจึงดูราวกับว่ามันควรจะมีมิติเดียว แต่ด้วยการวนซ้ำของเส้นโค้งมากขึ้นเรื่อยๆ เส้นจะดูคลุมเครือราวกับว่ามันมีความกว้าง มันไม่อาจเป็นสองมิติได้เพราะมันไม่ได้เติมเต็มพื้นที่ใด ๆ

ดังนั้น นักคณิตศาสตร์จึงเสนอแนวคิดใหม่เกี่ยวกับมิติ ซึ่งเส้นโค้ง Koch คือมิติ 1.26 แฟร็กทัลที่ซับซ้อนน้อยกว่าจะมีมิติใกล้กับ 1 และเศษส่วนที่ซับซ้อนกว่าจะมีมิติใกล้กับ 2

เทย์เลอร์นำภาพดิจิทัลของภาพวาด Pollock ไปที่ห้องทดลองของเขา แบ่งภาพออกเป็นสีต่างๆ และคำนวณมิติเศษส่วนของเส้นในแต่ละสี แต่ละครั้ง เขาได้ตัวเลขระหว่าง 1 ถึง 2 ซึ่งยืนยันความคิดของเขาว่าภาพวาดของ Pollock นั้นเป็นเศษส่วน “แทนที่จะเลียนแบบธรรมชาติ” เทย์เลอร์กล่าว Pollock “ใช้ภาษาของมัน—แฟร็กทัล—เพื่อสร้างแบบแผนของเขาเอง”

ในปี 1999 เทย์เลอร์รายงานว่ามิติเศษส่วนของภาพวาดของ Pollock เพิ่มขึ้นในช่วงชีวิตของเขา ภาพวาดหยดน้ำยุคแรกของเขามีเส้นสายหลวม ๆ ส่วนใหญ่อยู่ในระดับเดียวกัน เนื่องจากภาพวาดเหล่านี้ไม่แสดงคุณสมบัติของเศษส่วน มิติของภาพจึงอยู่ใกล้ 1 แต่ภาพวาดของ Pollock ในภายหลังมีโครงข่ายของเส้นที่ทับซ้อนกันหนาแน่น ตั้งแต่ลายเส้นขนาดใหญ่ ตัวหนา ไปจนถึงเส้นที่ละเอียดอ่อน เทย์เลอร์คำนวณขนาดเศษส่วนเป็น 1.72 สำหรับงานเหล่านี้

Taylor คาดเดาว่า Pollock พัฒนางานศิลปะของเขาด้วยวิธีนี้โดยตั้งใจ “แต่ในระดับที่ใช้งานง่ายมากกว่าระดับปัญญา”

เกมส์ออนไลน์แนะนำ >>> เว็บสล็อตแท้